Natürliche Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

Da jemand mir gestern freundlicherweise den Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der natürlichen Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen erläutert hat, stelle ich die entsprechende Passage aus der Wikipedia hierher, die ich als solche nie verstanden hätte. 

Wieso kommt das, was für Mathematiker Banalitäten sind, was in der Schulmathematik aber nicht vorkommt, in meinen Fragehorizont?
Ich hatte einen Vortrag über die Schwingungsberechnung mit partiellen Differentialgleichungen gehört und den Zusammenhang der e-Funktionen mit den trigonometrischen (der Name war mir auch entfallen, ich kannte nur noch sinus und cosinus) nicht verstanden.
Da mir jemand - ich war im sprachlichen Zweig über die Differentialrechnung nicht hinaus gekommen - mal nebenbei die Integralrechnung erklärt hatte, dachte ich, ich könnte mir diesen Zusammenhang mal erklären lassen. 
Ohne dass ich das ein wenig nachbereite, bleibt mir das aber bestimmt nicht im Kopf. 

Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:

${\displaystyle \sin(z):={\frac {e^{\mathrm {i} z}-e^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }},}$

${\displaystyle \cos(z):={\frac {e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}}{2}}.}$

Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel

${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\cos(z)+\mathrm {i} \,\sin(z)}$.

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Exponentialfunktion_auf_den_komplexen_Zahlen

Zur Erläuterung noch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation:

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel ${\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y}}$ aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ mit ${\displaystyle f(1)=a}$. Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}.}$

Was bedeutet nun ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}}$? Nennt man diesen Grenzwert ${\displaystyle \ln a}$, so gilt für die durch

${\displaystyle e:=a^{\frac {1}{\ln a}}}$

definierte Zahl ${\displaystyle e}$ (bzw. ${\displaystyle a=e^{\ln a}}$, ${\displaystyle \ln a}$ muss dann also der Logarithmus zur Basis ${\displaystyle e}$ sein) nach der Kettenregel formal

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}a^{\frac {x}{\ln a}}=a^{\frac {x}{\ln a}}{\frac {1}{\ln a}}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{\frac {x}{\ln a}}=e^{x}.}$

${\displaystyle e}$ erfüllt dann vermutlich

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$

Wie kann man diese Zahl ${\displaystyle e}$ berechnen? Setzt man rein formal ${\displaystyle h=1/n}$ und löst die Gleichung

${\displaystyle {\frac {e^{1/n}-1}{1/n}}=1}$, dann erhält man ${\displaystyle e=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$. Für die Zahl

${\displaystyle e:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

ist also zu vermuten, dass

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1\qquad {\text{bzw.}}\qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}$

gilt.

Für ${\displaystyle e^{x}}$ erhält man mit ${\displaystyle m=nx}$ auch rein formal die Darstellung

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{nx}=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {x}{m}}\right)^{m},}$

also die eine Definition der Exponentialfunktion.

Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}e^{x}=e^{x}}$

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch

${\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{n}}{{\mathrm {d} }x^{n}}}e^{x}=e^{x}}$

gelten muss, also ${\displaystyle f^{(n)}(0)=1}$, erhält man für die Taylorreihe an der Stelle ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},}$

also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat.

Das sind die für mich wichtigsten Passagen. Wer mehr wissen will, liest den vollständigen Artikel.

Wofür aber braucht man eine solche komplexe Exponentialfunktion wie diese
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mit einem imaginären Anteil? Zur Beschreibung von Schwingungen.
Wenn man den reellen Teil für die Darstellung des räumlichen Anteils der Bewegung und den imaginären Anteil für die vierte Dimension, die Zeit, nimmt, erhält man eine Bewegung, die in sich selbst zurückkehrt (in einem Koordinatensystem als Kreis darstellbar). Und das ist genau das, was bei einer angeregten Schwingung passiert: eine Wellenbewegung, die nicht abflacht, sondern sich dauerhaft exakt wiederholt.